垂直于弦的直径

理及其推论1：对于一条直线和一个圆来说，具备下列五个条件中的任何个，那么也具有其他三个：⑴ 直线过圆心 ；⑵ 垂直于弦 ；⑶ 平分弦 ；⑷ 平分弦所对的优弧 ；⑸ 平分弦所对的劣弧.可简记为：“知2推3”

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.

2．应用垂径定理及其推论计算（这里不管什么层次的学生都要自主研究）

涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h

关系：r =h+d   ;  r² =d² + (a/2)²

3．常添加的辅助线：（学生归纳）

⑴ 作弦心距 ；⑵ 作半径 .------构造直角三角形

4．可用于证明：线段相等、弧相等、角相等、垂直关系；同时为圆中的计算、作图提供依据.

(二)应用例题：（让学生分析，交流，解答，老师引导学生归纳）

例1、1300多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4米，拱高(弧中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.2米，求桥拱的半径(精确到0.1米)．

说明：①对学生进行爱国主义的教育；②应用题的解题思路：实际问题——（转化，构造直角三角形）——数学问题．

例2、已知：⊙O的半径为5 ，弦AB∥CD ，AB =6 ，CD =8 .求：AB与CD间的距离.（让学生画图）

解：分两种情况：

（1）当弦AB、CD在圆心O的两侧

过点O作EF⊥AB于E，连结OA、OC，

又∵AB∥CD，∴EF⊥CD．（作辅助线是难点，学生往往作OE⊥AB，OF⊥AB，就得EF=OE+OF，错误的结论）

由EF过圆心O，EF⊥AB，AB =6，得AE=3，

在Rt△OEA中，由勾股定理，得

，∴

同理可得：OF=3

∴EF=OE+OF=4+3=7．

（2）当弦AB、CD在圆心O的同侧

同（1）的方法可得：OE=4，OF=3．

∴．

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